Արդյո՞ք ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերի միջև կա իրական հայեցակարգային տարբերություն, կամ տարբերությունները մեր համարակալման համակարգի արտեֆակտ են:


պատասխանել 1:

Երկուսի միջև հայեցակարգային տարբերությունը հսկայական է: Ռացիոնալ համարները սահմանվում են զուտ հանրահաշվական. Նրանք սկսվում են ամբողջ թվերի օղակից (ամենափոքր օղակը, որում կա անսահման կարգի մի տարր ՝ մասնավորապես թիվ 1) և վերցնում են նրա կոտորակային դաշտը: Սա վերջավոր, զուտ հանրահաշվական ընթացակարգ է: Ոչ մի վերլուծության հասկացություն (օրինակ ՝ սահմաններ, կոնվերգենցիա և այլն) չի պահանջվում: Բայց իրական թվերը որոշելու համար մենք պետք է վերլուծություն: Մասնավորապես, մեզ անհրաժեշտ է «մետրային» հասկացություն իրական թվերի բնագավառում (որը հեռավարության գաղափարի մաթեմատիկական ձևականացումն է) և «դաշտի հետ կապված դաշտի ավարտման» հայեցակարգը: Իրական թվերի հավաքածուն սահմանվում է որպես ռացիոնալ թվերի դաշտի լրացում `ստանդարտ մետրիկի համեմատությամբ (Archimedean): Ավելի կոնկրետ ՝ դա ռացիոնալ թվերի «Cauchy հաջորդականությունների» համարժեքության դասերի համընկնում է ստանդարտ մետրիկի հետ (դա իրականում դաշտ է):

Ռացիոնալ թվերի հավաքածուն, իհարկե, պարունակում է իրական թվերի շարքում. X յուրաքանչյուր տրամաբանական համարը տանում է դեպի մշտական ​​Cauchy հաջորդականությունը (x, x, x, x, ...): Իրական թվերի շարքում ռացիոնալ թվերի հավաքածուի լրումն այն անորոշությունն է, որը կոչվում է իռացիոնալ թվերի հավաքածու: Մասնավորապես, մենք կարող ենք տասնորդական ձևով ներկայացնել ցանկացած իրական թիվ: Սա պարզապես այս համարի Cauchy հաջորդականությունը ձայնագրելու հատուկ միջոց է (այն է ՝ Cauchy հաջորդականությունը, որը համապատասխանում է իրական համարի տասնորդական ներկայացուցչությանը, նրա բոլոր n- ների համար նրա առաջին n թվերի հաջորդականությունն է): Այնուամենայնիվ, իրական թվերի (և, հետևաբար, իռացիոնալ թվերի) գաղափարը ինքնին որևէ կապ չունի թվերի ներկայացման հատուկ եղանակի հետ: Օրինակ, փոխարենը մենք կարող էինք օգտագործել երկուական ձև կամ որևէ այլ «բազային k» ձև: Սա ընդամենը ներկայացուցչության հարց է: Իրական համարի գաղափարը որոշվում է անկախ որոշակի ներկայացուցչությունից անկախ:

Եթե ​​նայեք այս բնորոշմանը, պարզ է դառնում, թե որքան շատ են բարդ իռացիոնալ թվերը, քան բանական թվերը: Ռացիոնալ և իռացիոնալ համարները ոչ մի դեպքում միևնույն մետաղադրամի երկու կողմեր ​​չեն: Օրինակ ՝ նախկին կոմպլեկտը հաշվիչ է, իսկ վերջինը ՝ ոչ (սա է հանրահայտ կանտորի անկյունագծային փաստարկի եզրակացությունը): Ռացիոնալ թվերը կազմում են դաշտ (դա իրական թվերի դաշտի ենթահող է), բայց իռացիոնալ համարները ոչ:

Կցանկանայի նշել նաև, որ այս երկու հասկացությունները մաթեմատիկայի մեջ շատ գործընկերներ ունեն: Մենք կարող ենք սկսել ցանկացած օղակից `ամբողջ թվերի փոխարեն: Օրինակ ՝ Գաուսների ամբողջ թվերի օղակը (a + bi), որտեղ ես -1 – ի քառակուսի արմատն է և վերցնում է իր կոտորակային դաշտը: Այնուհետև մենք կարող ենք այդ դաշտի համար չափիչ ներկայացնել և այն լրացնել: Եթե ​​մենք օգտվենք ստանդարտ (վարդապետական) մետրից `Գաուսսի ամբողջ թվերի դեպքում, մենք ամբողջական թվերի դաշտ ենք ստանում ավարտելու համար: Գոյություն ունի ևս մեկ ընդհանրացում ՝ ի լրումն վարդապետական ​​մետրիկի ՝ բանական թվերի բնագավառում (կամ մեկ այլ օղակի ֆրակցիաների դաշտը, ինչպիսին է Գաուսների ամբողջ թվերի օղակը), կան նաև այլ չափումներ: Ռացիոնալ թվերի դաշտի համար կան, օրինակ, այսպես կոչված p-adic չափումներ յուրաքանչյուր հիմնական համարի համար p. P-adic մետրիկի հետ կապված ռացիոնալ թվերի դաշտի ավարտը կոչվում է p-adic համարների դաշտ: Սրանք նույնքան հետաքրքիր են ուսումնասիրելու համար, որքան իրական և բարդ թվերի ոլորտները, և այս ոլորտում վերջին 100 տարվա ընթացքում շատ հետազոտություններ են կատարվել: Ձեր հարցը մեզ տանում է դեպի իսկապես հետաքրքրաշարժ գաղափարներ և շինություններ: (Լրացուցիչ տեղեկությունների համար պարզապես google այն հասկացությունները, որոնք ես մատնանշեցի վերևում):


պատասխանել 2:

Այո

Երբ դրանք սահմանեք, դրանք բոլորովին այլ են: Ռացիոնալ համարներն այն թվերն են, որոնք կարող են արտահայտվել որպես երկու ամբողջ թվերի հարաբերակցություն: Իռացիոնալ համարները այն թվերն են, որոնք չեն կարող: Սովորաբար ավելի հեշտ է հաշվարկել և շահարկել ցանկացած ռացիոնալ թիվ, քանի որ մեկ անգամ իմանալով, որ ես ունեմ մեկը, կարող եմ գրել այն, որպեսզի այն ավելացվի, բազմապատկվի, հանվի և բաժանվի: Իռացիոնալն այնքան էլ լավ չի ընթանում:

Այն փաստը, որ նրանք ունեն բազմապատիկ հակադարձումներ, նրանց դարձնում է դաշտ: Դրանք նույնպես փակ են վերը նշված գործողությունների մաս: Կարող եք բազմապատկել երկու իռացիոնալ թվեր և ստանալ մեկ ռացիոնալ. Իռացիոնալ արյունահոսությունը այնպես, որ բանականությունը չլինի:

Բացի այդ, նրանց անսահմանությունները իրենց շատ տարբեր են զգում (և անում են): Մեկը թվերի շոշափելի, երևակայական, գրեթե տեսանելի անսահմանությունն է, իսկ մյուսը ՝ շարունակականության անհասկանալի խտությունը:

Վստահ եմ, որ ավելին կա. Իմ գիտելիքները սահմանափակ են, բայց սրանք առավել ակնհայտ են:


պատասխանել 3:

Այո

Երբ դրանք սահմանեք, դրանք բոլորովին այլ են: Ռացիոնալ համարներն այն թվերն են, որոնք կարող են արտահայտվել որպես երկու ամբողջ թվերի հարաբերակցություն: Իռացիոնալ համարները այն թվերն են, որոնք չեն կարող: Սովորաբար ավելի հեշտ է հաշվարկել և շահարկել ցանկացած ռացիոնալ թիվ, քանի որ մեկ անգամ իմանալով, որ ես ունեմ մեկը, կարող եմ գրել այն, որպեսզի այն ավելացվի, բազմապատկվի, հանվի և բաժանվի: Իռացիոնալն այնքան էլ լավ չի ընթանում:

Այն փաստը, որ նրանք ունեն բազմապատիկ հակադարձումներ, նրանց դարձնում է դաշտ: Դրանք նույնպես փակ են վերը նշված գործողությունների մաս: Կարող եք բազմապատկել երկու իռացիոնալ թվեր և ստանալ մեկ ռացիոնալ. Իռացիոնալ արյունահոսությունը այնպես, որ բանականությունը չլինի:

Բացի այդ, նրանց անսահմանությունները իրենց շատ տարբեր են զգում (և անում են): Մեկը թվերի շոշափելի, երևակայական, գրեթե տեսանելի անսահմանությունն է, իսկ մյուսը ՝ շարունակականության անհասկանալի խտությունը:

Վստահ եմ, որ ավելին կա. Իմ գիտելիքները սահմանափակ են, բայց սրանք առավել ակնհայտ են:


պատասխանել 4:

Այո

Երբ դրանք սահմանեք, դրանք բոլորովին այլ են: Ռացիոնալ համարներն այն թվերն են, որոնք կարող են արտահայտվել որպես երկու ամբողջ թվերի հարաբերակցություն: Իռացիոնալ համարները այն թվերն են, որոնք չեն կարող: Սովորաբար ավելի հեշտ է հաշվարկել և շահարկել ցանկացած ռացիոնալ թիվ, քանի որ մեկ անգամ իմանալով, որ ես ունեմ մեկը, կարող եմ գրել այն, որպեսզի այն ավելացվի, բազմապատկվի, հանվի և բաժանվի: Իռացիոնալն այնքան էլ լավ չի ընթանում:

Այն փաստը, որ նրանք ունեն բազմապատիկ հակադարձումներ, նրանց դարձնում է դաշտ: Դրանք նույնպես փակ են վերը նշված գործողությունների մաս: Կարող եք բազմապատկել երկու իռացիոնալ թվեր և ստանալ մեկ ռացիոնալ. Իռացիոնալ արյունահոսությունը այնպես, որ բանականությունը չլինի:

Բացի այդ, նրանց անսահմանությունները իրենց շատ տարբեր են զգում (և անում են): Մեկը թվերի շոշափելի, երևակայական, գրեթե տեսանելի անսահմանությունն է, իսկ մյուսը ՝ շարունակականության անհասկանալի խտությունը:

Վստահ եմ, որ ավելին կա. Իմ գիտելիքները սահմանափակ են, բայց սրանք առավել ակնհայտ են: